Zeitreihenmodelle sind eine wichtige Analyseform, um zukünftige Ereignisse anhand von vorangegangenen Erkenntnissen vorhersagen zu können. ARIMA ist ein solches leistungsstarkes Modell, mit dem sich Zeitreihen beschreiben und analysieren lassen. Nachfolgend sollen in diesem Beitrag die grundlegende Funktionsweise eines ARIMA Model thematisiert sowie die zentralen Schritte demonstriert werden, die für die Erstellung und Durchführung eines ARIMA Model von Bedeutung sind.
Gerne unterstützen wir Sie dabei im Rahmen unserer Statistik Beratung bei der Erstellung eines passgenauen ARIMA Models.
Zeitreihenmodellierung mittels ARIMA Model
Autoregressive Integrated Moving Average Modelle (ARIMA Model) gehören in den Bereich der Zeitreihenmodellierung. In seiner grundlegendsten Form sollen zukünftige Ausprägungen interessierender Variablen anhand von vergangenen Ausprägungen vorhergesagt werden.
Eine solche Art von Vorhersage ist insbesondere nützlich, wenn spezifische Ausprägungen einer Variable weitreichende Auswirkungen haben. Dies ist beispielsweise der Fall in Bereichen der Wirtschaft bspw. bei Kostenanalysen und Umsatzanalysen, im Marketing oder bei Wetter- und Naturphänomenen.
Im Grunde handelt es sich hierbei um eine Vorhersage auf der Basis vergangener Werte. Nachfolgend soll die grundlegende Funktionsweise von ARIMA Models thematisiert werden.
Was ist ein ARIMA Model?
Die konzeptuelle Grundlage von ARIMA Modellen sind Autoregressive Modelle (AR-Modelle) und Moving Average Modelle (MA-Modelle).
Bei einem AR-Modell werden künftige Werte anhand historischer Werte der gleichen Variable vorhergesagt. Bei einem MA-Modell hingegen werden Stör- und Fehlerterme betrachtet, die in vergangenen Messungen zu Abweichungen von den erwarteten Werten geführt haben.
Indem nun die Störterme angemessen modelliert werden, kann es gelingen, präzise Vorhersagen bezüglich künftiger Werte zu treffen. AR-Modelle werden häufig mit anderen AR-Modellen kombiniert, um bestmögliche Prognosen zu erzielen.
Vor diesem Hintergrund wird auch von Autoregressiven Moving Average Modellen (ARMA-Modellen) gesprochen. Das Moving Average Modell wird anhand eines oder mehrerer Parameter spezifiziert.
Der gewählte Parameter wird als Ordnung oder Lag bezeichnet. Er gibt an, wie viele der vergangenen Fehlerterme für den zu berechnenden Vorhersagewert einbezogen werden sollen.
Bei einem MA(1)-Modell wird beispielsweise lediglich der letzte erfasste Fehlerterm für die vorhergesagten Werte genutzt, während im MA(2)-Modell das Mittel der beiden letzten Fehlerterme berechnet wird.
ARIMA Modellierung: Parameter
Mit Blick auf ARIMA Models wird hier einen Schritt weiter gegangen, indem differenzierte Daten genutzt werden. Differenzierte Daten erhält man im Kontext von ARIMA-Modellen durch eine mathematische Transformation der erhobenen Werte, bei der die Veränderungen aufeinander folgender Werte abgebildet werden soll.
Das Ziel dieser Transformation besteht in der Umwandlung der Zeitreihe in eine stationäre Form. Ein ARIMA Modell stellt somit nicht die Zeitreihe selbst dar, sondern modelliert die Differenzen zwischen aufeinanderfolgenden Werten.
Es gibt insgesamt drei Parameter, die in einem ARIMA Modell spezifiziert werden müssen:
- Anzahl der Differenzierungen (d)
- Ordnung der Autoregressiven Komponente (p)
- Ordnung der Moving Average-Komponente (q)
Das ARIMA-Modell geht davon aus, dass die aktuelle Beobachtung der Zeitreihe eine Linearkombination der vorherigen p Differenzbeobachtungen und der vorherigen q Fehlertermen der MA-Komponente ist.
Erstellung eines spezifischen ARIMA Model
ARIMA Models werden in der Regel im Rahmen von drei Schritten erstellt: Identifikation, Schätzung und Validierung. Die einzelnen Schritte sollen nachfolgend dargestellt werden:
(1) Identifikation: In diesem ersten Schritt wird ein ARIMA-Modell spezifiziert, welches eine optimale Passung bezüglich der zugrunde liegenden Daten aufweist.
Das Ziel der Identifikation liegt demnach darin, die drei oben genannten Parameter p, q und d der Zeitreihe bestmöglich auszuwählen, sodass eine Vorhersage der Autokorrelationsfunktion (ACF) bestmöglich erfolgen kann.
(2) Schätzung: Nachdem die passenden Parameter für das Modell gewählt wurden, erfolgt eine Schätzung der Werte der Parameter anhand gängiger Schätzverfahren. Beispiele dafür sind die Methode der kleinsten Quadrate oder die Maximum-Likelihood-Methode.
(3) Validierung: Nach der vollständigen Spezifizierung des Modells bedarf es abschließend einer Validierung des Modells anhand von Testdaten.
Dies dient der Quantifizierung der Vorhersagegenauigkeit des Modells und ermöglicht künftige Anpassungen und Verbesserungen durch die Nutzung weiterer Modelle
Fazit
Zusammenfassend lässt sich feststellen, dass ARIMA-Modelle leistungsfähige und häufig genutzte Modelle zur Vorhersage von Zeitreihen sind.
Dabei zeichnen sich ARIMA Modelle vornehmlich durch eine hohe Flexibilität aus, da entsprechende Modelle leicht an sich variierende Datensätze angepasst werden können.
Zudem sind die Ergebnisse der Vorhersagemodelle leicht zu interpretieren und oft in der Lage, präzise Vorhersagen zu liefern.
Wenn Sie auf der Suche nach Unterstützung für anspruchsvolle Lösungen mit Blick auf die Erstellung von ARIMA Modellen und damit verbundenen Prognosemodellen sind, dann melden Sie sich gern. Wir freuen uns, Sie mit unserer langjährigen Expertise zu unterstützen. Nutzen Sie dazu einfach das schriftliche Kontaktformular für ein unverbindliches Angebot!
Weiterführende Quellen
- ARIMA Modell: Wikipedia
- ARIMA mit Python